CHUYÊN ĐỀ 2: SỐ CHÍNH PHƯƠNG
LÍ THUYẾT
Định nghĩa
Số chính phương là một số bằng bình phương của một số tự nhiên
Ví dụ : 32 = 9
152 = 225
Các số 9, 225 là bình phương các số tự nhiên 3, 15 được gọi là số chính phương
Tính chất
1, Số chính phương chỉ có thể tận cùng băng 0, 1, 4, 5, 6, 9 không thể tận cùng bằng 2, 3, 7, 8
2, Một số chính phương có chử số tận cùng là 5 thì chử số hàng chục là 2.
Thật vậy, giả sử
vì chử số hàng chục của 100a2 và 100a là chử số 0 nên chử số hàng chục của M là 2.
3, Một số chính phương có chử số hàng đơn vị là 6 thì chử số hàng chục của nó là số lẽ.
Thật vậy, giả sử số chính phương N = a2 có chử số tận cùng là 6 thì chử số hàng đơn vị của số a chỉ có thể 4 hoặc 6.
Giả sử hai chử số tận cùng của số a là
( nếu là
thì chứng minh tương tự ) khi đó :


Vì chử số hàng chục của số 100b2 là 80b là số chẵn nên chử số hàng chục của N là số lẽ
4, Khi phân tích ra thừa số nguyên tố , số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn, không chứa thừa số với số mũ lẽ
Thật vậy, giả sử A = k2 và k = axbycz…(a, b, c là số nguyên tố) thì
A = (axbycz…)2 = a2xb2yc2z…
Từ tính chất này suy ra:
Số chính phương chia hết cho 2 thì phải chia hết cho 4
Số chính phương chia hết cho 3 thì phải chia hết cho 9
Số chính phương chia hết cho 5 thì phải chia hết cho 25
Số chính phương chia hết cho 8 thì phải chia hết cho 16
5, Số lượng các ước của một số chính phương là số lẽ. Đảo lại một số có số lượng các ước là số lẽ thì số đó là số chính phương
Thật vậy , nếu A = 1 thì A là số chính phương có 1 ước . Ta giả sử số A > 1 có dạng phân tích ra thừa số nguyên tố là A = axbycz… thì số lượng ước của nó bằng (x + 1)(y + 1)(z + 1)…
a, Nếu A là số chính phương thì x, y, z …chẵn nên x + 1, y + 1 , z +1 …lẽ . Vậy số lượng các ước của A là số lẽ.
b, Nếu số lượng các ước của A là số lẽ thì (x + 1)(y + 1)(z + 1)…lẽ do đó các thừa số x + 1, y + 1, z + 1 ….đều lẽ , suy ra x, y, z …chẵn.
Đặt x = ax’ , y = 2y’, z = 2z’ …(x’, y’ ,z’ …
thì

nên A là số chính phương
CÁC DẠNG TOÁN.
DẠNG 1: CÁCH BIỄU DIỄN SỐ TỰ NHIÊN TRONG HỆ THẬP PHÂN.


Đặc biệt :


Bài 1:
Chứng minh rằng số sau là một số chính phương


Giải.
Ta có :



Suy ra điều chứng minh
Bài 2:
Cho

So sánh tổng các chử số của A2 với tổng các chử số của A
Giải.
Ta có :


Vậy


Tổng của các chử số của

= (n – 1).9 + 9 = 9n
Tổng của các chử số của A = 9n
Vậy tổng các chử số của A2 bằng tổng các chử số của A
Bài 3:
Tìm các chử số a, b, c > 0 sao cho mọi số tự nhiên n > 0 thì


Giải.


Đặt

Ta có :


Điều kiện bài toán đã cho tương đương với


Suy ra
ta có ba bộ (a, b, c) thoả mãn là (1, 5, 3) ; (4, 8, 6) ; (9, 9, 9)
Bài 4:
Cho

Chứng minh rằng A + B + C + 8 là một số chính phương với

Giải.
Ta có :


Vậy



Là một số chính phương
Bài 5:
Chứng minh rằng mọi số tự nhiên n thì
A = (10n + 10n-1 + …+ 10 + 1)(10n+1 + 5) + 1
Là số chính phương nhưng không thể là lập phương của một số tự nhiên được
Giải.